コラム3つのカタチの大きさを比べてみよう!
3つのカタチの⼤きさを⽐べてみよう!

バイオミメティクスブースの動画どうがでは、まわりの⻑さがひとしい正三⾓形・正⽅形・正六⾓形のうち、⼀番⼤きいのは正六⾓形になる、ということを紹介しょうかいしました。ここでは、本当に正六⾓形が⼀番⼤きいのかをたしかめてみたいと思います!

初めに、まわりの⻑さの等しい正三⾓形・正⽅形・正六⾓形を準備じゅんびします。

正三⾓形は一辺いっぺんが4cm、正⽅形は一辺いっぺんが3cm、正六⾓形は一辺いっぺんが2cmです。こうすれば、どれもしゅうの⻑さは12cmで同じになりますね。少しむずかしい算数を使って、これらの面積めんせき(広さ)を正確せいかくな値として求めることもできますが、今回はより多くのみんなに分かってもらえるよう、分かりやすいやり⽅で⼤きさを⽐べていこうと思います。

正三⾓形と正六⾓形

正三⾓形と正六⾓形の⼤きさをくらべるにはどうしたら良いでしょうか?そのままかさねてもかさなる部分とはみ出てしまう部分があってうまくくらべられません。そこでここでは、正三⾓形も正六⾓形も「⼩さな正三⾓形に分けられる」ということを使って⽐べてみます。

上の図のように、⼀辺が2cmの正三⾓形に分けてみます。すると、正三⾓形は4つ分、正六⾓形は6つ分になっていることがわかります。同じカタチが4つあつまったものと、6つあつまったものとでは、6つあつまったものの⽅が⼤きいのは明らかですね。というわけで、正三⾓形よりも正六⾓形の⽅が⼤きいことがしめせました!

正⽅形と正六⾓形

次に、正⽅形と正六⾓形をくらべてみましょう。今度こんどは正⽅形を正三⾓形に分けることはできないので、先ほどとは別の工夫くふう必要ひつようになります。そこで、ここでは下の図のように、正六⾓形の形をえることで⼤きさを⽐べてみたいと思います。

図を⾒ただけでは分かりにくいと思うので、以下でくわしく説明せつめいしていきます。⼀番左の図を⾒てください。先ほどは正三⾓形に分けた正六⾓形ですが、ここでは図のように、ん中に⼤きめの四⾓形、そしてその周りに4つの三⾓形、と分けてみます。

⼀つ右の図にすすんで、左側ひだりがわにあった⼆つの三⾓形(⾚と⻘)を、それぞれ対応たいおうする点線てんせんしめした場所ばしょにもっていきます。すると、底辺ていへんが3cm で、正六⾓形と同じ⾼さの⻑⽅形(右から2番目ばんめの図)ができました!⼀部分を切って動かしただけなので、この⻑⽅形も、もとの正六⾓形と同じ⼤きさです。⼀番右の図は正⽅形ですが、こちらも底辺ていへんが3cm だったので、より⾼さの⾼い、正六⾓形から作った⻑⽅形の⽅が⼤きいことが分かりますね!少し遠回とおまわりだったかもしれませんが、正⽅形より正六⾓形の⽅が⼤きいことがしめせました!

さて、ここまでで、「正三⾓形より正六⾓形が⼤きい」こと、「正⽅形より正六⾓形が⼤きい」ことが分かりました。つまり、正三⾓形・正⽅形・正六⾓形の3つの中では、正六⾓形が⼀番⼤きいことが無事ぶじたしかめられました!ところで、周りの⻑さが同じカタチの中で、⼀番⼤きいのはどんなカタチでしょうか?わっかになったひもをつくえの上において、ひもの内側うちがわが⼀番⼤きくなるようにカタチをえてみると考えやすいかもしれません。答えは、「円」です。ひもであれば、きれいな丸のカタチになるようにした時に、⼀番⼤きくなります。考えてみれば、正三⾓形・正⽅形・正六⾓形のうち、⼀番⼤きかった正六⾓形は、3つの中では⼀番円にたカタチだと⾔えますね。また、同じしゅうの⻑さをもつ正○⾓形どうしの⼤きさを⽐べると、より多くの⾓をもつ(つまり、○に⼊る数字が⼤きい)ものほど面積めんせき(広さ)は⼤きくなります。

それでは、なぜ今回の実験じっけんでは円や他の正○⾓形は使わず、正三⾓形、正⽅形(正四⾓形)、正六⾓形の3つだけで⽐べたのでしょうか?それは、円や正○⾓形の中で、はちの巣のようにしきつめて構造こうぞうを作れるのはこの3つだけだからです。円や正五⾓形などでは、しきつめようとしてもすき間ができてしまい、うまく構造こうぞうを作ることができません。同じカタチをしきつめたものを「平面充填へいめんじゅうてん」と⾔いますが、実は平面充填へいめんじゅうてんは正三⾓形、正⽅形、正六⾓形以外にも存在します。(「千鳥格子ちどりこうし」などがその例です。⾒たことがない⼈は調しらべてみてくださいね!)

今回は3つだけをくらべましたが、正六⾓形は、それらの平面充填へいめんじゅうてんのできるすべての図形の中で、周の⻑さに対する面積めんせき(広さ)が最大さいだいと知られています。はちの巣のカタチ、ハニカム構造こうぞう不思議ふしぎさ、すごさをさらに実感じっかんしてもらえたでしょうか?興味きょうみのある⼈は、面積めんせきくらべるのべつ⽅法や、正○⾓形の平面充填へいめんじゅうてんが3つだけにかぎられる理由など、⾃分で考えてみるといろいろな発見はっけんがあって面白おもしろいかもしれません!

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